Pembahasan Latihan Soal Tes Potensi Akademik Teori Bilangan, Akar, Eksponen

PEMBAHASAN LATIHAN SOAL TPA TEORI BILANGAN

1. Jika  `\frac x{y}` = 0,27272727 ..., dengan x,y merupakan ∈ bilangan prima. Maka `\frac{(x-y)^2-2^3}{(x+y)}` adalah…

Penyelesaian:

`\frac x{y}`= 0,272727… (1)
Kedua ruas dikali 100, menjadi:
100 `\frac x{y}` = 27,272727… (2)

Kemudian kurangkan kedua persamaan:
100 `\frac x{y}` - `\frac x{y}`= 27,272727… - 0,272727…

99 `\frac x{y}` = 27

`\frac x{y}` = `\frac3{11}`, maka diperoleh nilai x=3 dan y=11.

Substitusi nilai tersebut ke pertanyaan pada soal:

`\frac{(x-y)^2-2^3}{(x+y)}`=`\frac{(3-11)^2-2^3}{(3+11)}`=`\frac{(-8)^2-2^3}{(3+11)}`= `\frac{56}{14}` = 4

2. Jumlah dan hasil kali dua bilangan adalah 8 dan 15. Maka selisih kuadrat dari kedua bilangan tersebut adalah...

Penyelesaian:

a + b = 8, maka a = 8 - b persamaan (1)
ab = 15 persamaan (2)
`a^2-b^2` = … ?
substitusi persamaan (1) ke persamaan (2):
(8–b) b = 15
8b–`b^2` = 15
`b^2`– 8b + 15 = 0
(b – 5) (b – 3) = 0
b= 5 v b= 3
substitusi nilai b ke persamaan (1)
a = 8 – 5 = 3, atau
a = 8 – 3 = 5
karena opsi jawaban pada soal bernilai positif, bisa dipastikan a > b
`a^2-b^2` = `5^2-3^2` = 16

3.  Hitung persamaan akar berikut!

CARCEP: `X^\frac{7\times3\times2}{2\times7\times5\times3}=X^\frac{42}{210}=X\frac1{5}`

4. Nilai dari `\frac{2\times36^{101}-2^5\times36^{100}+280}{6^{200}+7}` = ...

Penyelesaian:

`\frac{2\times36^{101}-2^5\times36^{100}+280}{6^{200}+7}` ubah bentuk menjadi

=`\frac{2\times36^{100}\left(36-2^4\right)+280}{6^{200}+7}`

=`\frac{2\times36^{100}\left(36-2^4\right)+7\times40}{6^{200}+7}`

=`\frac{2\times\left(6^2\right)^{100}\left(36-16\right)+7\times40}{6^{200}+7}`

=`\frac{2\times6^{200}\left(20\right)+7\times40}{6^{200}+7}`

=`\frac{40\times\left(6^{200}+7\right)}{6^{200}+7}` eliminasi yang sama

= 40

5. Jika x yang memenuhi persamaan `\left(\frac1{9^{2x}}\right)^\frac1{3}=\frac{\left(27^x\right)^2}{\left(81^{x-2}\right)}` maka nilai -5x sama dengan …

Penyelesaian:

`\left(\frac1{9^{2x}}\right)^\frac1{3}=\frac{(27^x)^2}{(81^{x-2})}`

`\left(\frac1{\left(3^2\right)^{2x}}\right)^\frac13=\frac{\left(3^{3x}\right)^2}{\left(3^4\right)^{x-2}}`

`\left(3^{-4x}\right)^\frac13=\frac{3^{6x}}{3^{4x-8}}`

`\left(3\right)^\frac{-4x}3=3^{6x-(4x-8)}`

`\frac{-4x}3=6x-4x+8` kedua ruas dikali 3

- 4x = 6x + 24
- 24 = 10x
- 12 = 5x
12 = - 5x

6. Apabila `33+x^3=49–x^3` maka nilai x adalah …

Penyelesaian:

`33+x^3=49–x^3`
`2x^3=16`
`x^3=8`
`x=2`

7. Jika `\sqrt[4]a+\sqrt[4]9=\frac1{2-\sqrt3}` maka a = …

Penyelesaian:

`4\sqrta+4\sqrt9=\frac1{2-\sqrt3}`, rasionalkan

`4\sqrta+\sqrt3=\frac1{2-\sqrt3}`x `\frac{2+\sqrt3}{2+\sqrt3}`

`4\sqrta+\sqrt3=2+\sqrt3`

`4\sqrta` = 2

a = `2^4` = 16

8. Jika `X=1234\times1232-1233^2+1` dan `Y=300^2-301\times299` maka …

Penyelesaian:

`X=1234\times1232-1233^2+1` dan `Y=300^2-301\times299`, kerjakan satu per satu
Misalkan `1232` = a dan 301 = b

X = `(a+2)\timesa – (a+1)^2+1`
X = `(a^2+2a) – (a^2+2a+1)+1`
X = `a^2+2a – a^2 – 2a – 1 + 1`

X = 0

Y = `(b – 1)^2 – b\times(b – 2)`
Y = `b^2 – 2b + 1 – (b^2 – 2b)`
Y = `b^2 – 2b + 1 – b^2 + 2b`
Y = 1
X < Y

9. Sebuah drum berisi minyak 2/5 bagian. Apabila ke dalam drum tersebut ditambahkan 2 liter minyak, isi drum itu menjadi 1/2 bagian. Kapasitas drum tersebut adalah … liter.

Penyelesaian:
Kapasitas drum minyak = x
Isi saat ini = 2/5 x
2/5 x + 2 liter = 1/2 x , kedua ruas dikali 10
4x + 20 liter = 5x
x = 20 liter

10. `\frac{5,74\times63+5,74\times37}{7,87^2-2,13^2}` = …

Penyelesaian:

`\frac{5,74\times63+5,74\times37}{{7,87}^2-{2,13}^2}`

ingat materi `(a^2–b^2)=(a+b)(a–b)`

`\frac{5,74(63+37)}{\left(7,87+2,13\right)(7,87-2,13)}` = `\frac{5,74(100)}{10(5,74)}` = 10

Baca juga : Rumus Penjabaran Aljabar

11. Bilangan `(2^{48}–1)` dapat dibagi oleh dua bilangan yang berada di antara 60 dan 70. Kedua bilangan tersebut adalah …

Penyelesaian:

`\left(2^{48}-1\right)`, sederhanakan dengan sifat `(a^2–b^2)=(a+b)(a–b)`
`\left(2^{48}-1\right)` = `(2^{24}–1)(2^{24}+1)`
= `(2^{12}–1)(2^{12}+1)(2^{24}+1)`

= `(2^{6}–1)(2^{6}+1)(2^{12}+1)(2^{24}+1)`

= `(63)(65)(2^{12}+1)(2^{24}+1)`

12. `(3^2–1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)` = …

Penyelesaian:

`(3^2–1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)`, cara penyelesaiannya sama dengan nomor 12 diatas ya!
`(3^2–1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)` = `(3^4–1)(3^4+1)(3^8+1)`
= `(3^8–1)(3^8+1)`
= `(3^16–1)`

13. Nilai dari `\sqrt{174,5}=13,2` dan `\sqrt{17,45}=4,18`. Bisa disimpulkan, nilai dari `\sqrt{174.500}` adalah …

Penyelesaian:

`\sqrt{174,5}=13,2` dan `\sqrt{17,45}=4,18`. Nilai dari `\sqrt{174.500}`=...

`\sqrt{174.500}` = `\sqrt{17,45}\times\sqrt{10.000}`
                  = `4,18\times100`
                  = `418`

14. 20% dari p adalah 2m. 45% dari p adalah 1/2 n. Berapa persenkah m + n dari p?

Penyelesaian:

`20\%p=2m`

`45\%p = \frac1{2}n`
`n = 90\%p`

m + n dari p = `\frac{10\%p+90\%p}p = 100\%`

15. Perkalian akar-akar real dari persamaan `\frac1{x^2-10x-29}+\frac1{x^2-10x-45}-\frac2{x^2-10x-69}` = ...

Penyelesaian:

misalkan `x^2-10x-45=a`

`\frac1{x^2-10x-29}+\frac1{x^2-10x-45}-\frac2{x^2-10x-69}=0`

`\frac1{a+16}+\frac1{a}-\frac2{a-24}=0`

`\frac{a+a+16}{\left(a+16\right)(a)}-\frac2{a+24}=0`

`\frac{\left(2a+16\right)\left(a-24\right)-2(a^2+16a)}{\left(a+16\right)\left(a\right)(a+24)}=0`

`\frac{2a^2-48a+16a-384-2a^2-32a}{\left(a+16\right)\left(a\right)(a-24)}=0`

`\frac{-64a-384}{\left(a+16\right)\left(a\right)(a-24)}=0` kedua ruas dikali `\left(a+16\right)\left(a\right)(a-24)`
`-64a=384`
`a=-6`, substitusi nilai a ke persamaan awal
`x^2-10x-45=-6`
`x^2-10x-39=0`
`x1.x2=\frac c{a}=-39`